Décomposition primaire

La décomposition primaire est une généralisation de la décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers. Cette dernière décomposition, connue depuis Gauss (1832) sous le nom de théorème fondamental de l'arithmétique, s'étend naturellement au cas d'un élément d'un anneau principal. Une décomposition plus générale est celle d'un idéal d'un anneau de Dedekind en produit d'idéaux premiers; elle a été obtenue en 1847 par Kummer à l'occasion de ses recherches sur le dernier théorème de Fermat, puis formalisée de manière quasi définitive vers 1871 par Dedekind, à qui l'on doit la notion d'idéal. La décomposition primaire, qui fait l'objet du présent article, est plus générale encore ; elle est due à Lasker qui, dans un article touffu paru en 1905, a considéré la décomposition d'idéaux d'« anneaux affines » et d'idéaux d'anneaux de séries convergentes, et à Emmy Noether qui, dans un article remarquable daté de 1921, a placé cette décomposition primaire dans son cadre définitif, celui des anneaux que nous appelons aujourd'hui noethériens. La théorie d'E. Noether portait sur la décomposition primaire d'un idéal dans un anneau noethérien; ce cadre a été élargi dans les Éléments de mathématique de Bourbaki où pour la première fois a été considérée la décomposition primaire d'un module de type fini sur un anneau noethérien. Il existe une théorie de la décomposition primaire dans les anneaux non commutatifs appelés firs, et en particulier dans les anneaux principaux non commutatifs. Néanmoins, il n'existe pas de décomposition primaire dans un anneau noethérien non commutatif quelconque, comme l'a montré Krull en 1928.

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