Anneau de Jacobson

Anneau commutatif dont tout idéal premier est intersection d'idéaux maximaux

Commune · Savoir · concept mathématique

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Résumé Wikipédia

Un anneau de Jacobson est un anneau commutatif dont tout idéal premier est intersection d'idéaux maximaux. Comme tout idéal radiciel est intersection des idéaux premiers qui le contiennent, un anneau de Jacobson est tel que tout idéal radiciel soit intersection d'idéaux maximaux.Un anneau local artinien est de Jacobson car son idéal maximal est le seul idéal premier. Ce sont d'ailleurs les seuls anneaux locaux de Jacobson. Une algèbre de type fini sur un corps est un anneau de Jacobson. Plus généralement, une algèbre de type fini sur un anneau de Jacobson est de Jacobson. Un anneau de Dedekind ayant un nombre infini d'idéaux maximaux est de Jacobson. Si A est un anneau de Jacobson et si B est de type fini sur A alors, pour tout idéal maximal m de B, l'image réciproque p de m par le morphisme A → B est un idéal maximal de A.De plus, par le Nullstellensatz, le morphisme de corps A/p → B/m est une extension finie.Une conséquence est que les idéaux maximaux de sont nécessairement à corps résiduel fini.

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Texte : extrait de l'article Wikipédia « Anneau de Jacobson », sous licence CC BY-SA 4.0.

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