Théorie des ensembles de Morse-Kelley

La théorie des ensembles de Morse-Kelley est une théorie axiomatique exprimée en premier ordre dont les objets sont des classes, c'est-à-dire des ensembles en un sens proche de celui de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC) mais aussi des « collections » d'ensembles ayant une même propriété, qui ne peuvent être considérés comme des ensembles sous peine de paradoxe, comme la collection de tous les ensembles. En cela elle est similaire à la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), et se différencie de la théorie de Zermelo-Fraenkel qui ne permet de parler d'une classe qui n'est pas un ensemble que via la meta-théorie, par la propriété qui la définit. Cependant la théorie de von Neumann-Bernays-Gödel ne permet de définir des classes dans l'univers ensembliste que par des propriétés qui elles-mêmes sont définies en termes d'ensembles ; cette restriction du schéma d'axiomes de compréhension fait de NBG une théorie finiment axiomatisable, et qui démontre les mêmes énoncés purement ensemblistes que la théorie de Zermelo-Fraenkel. La théorie de Morse-Kelley lève cette restriction : toute propriété exprimée dans le langage de la théorie définit une classe dans l'univers ensembliste, c'est alors une extension propre de la théorie des ensembles usuelle ZFC.

Texte : extrait de l'article Wikipédia « Théorie des ensembles de Morse-Kelley », sous licence CC BY-SA 4.0.